Question

20．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{k}$+$\frac{{y}^{2}}{k+2}$=1的短轴端点在以椭圆两焦点连线段为直径的圆内，则k的取值范围为（　　）

• A． k＞2
• B． 0＜k＜2
• C． 0＜k＜4
• D． k＞0

Answer 1

分析 由k＞0，可得椭圆$\frac{{x}^{2}}{k}$+$\frac{{y}^{2}}{k+2}$=1的焦点在y轴上，求得焦点和短轴的端点坐标，运用点在圆内转化为点与圆心的距离小于半径，解不等式即可得到所求范围．

解答 解：由k＞0，可得椭圆$\frac{{x}^{2}}{k}$+$\frac{{y}^{2}}{k+2}$=1的焦点在y轴上，
即有焦点为F₁（0，-$\sqrt{2}$），F₂（0，$\sqrt{2}$），
短轴的端点为A（-$\sqrt{k}$，0），B（$\sqrt{k}$，0），
由短轴端点在以椭圆两焦点连线段为直径的圆内，
可得|OA|＜|OF₁|，即有$\sqrt{k}$＜$\sqrt{2}$，
解得0＜k＜2．
故选：B．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，注意运用转化思想，将点在圆内转化为点与圆心的距离小于半径，考查运算能力，属于基础题．