Question

12．已知△ABC的三个顶点均在抛物线y²=x上，边AC的中线BM∥x轴，|BM|=2，则△ABC的面积为$2\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 作AH⊥BM交BM的延长线于H，求出|BM|，|AH|，即可求得△ABC的面积．

解答 解：根据题意设A（a²，a），B（b²，b），C（c²，c），不妨设a＞c，
∵M为边AC的中点，∴$M（{\frac{{{a^2}+{c^2}}}{2}，\frac{a+c}{2}}）$，又BM∥x轴，则$b=\frac{a+c}{2}$，
故$|{BM}|=|{\frac{{{a^2}+{c^2}}}{2}-{b^2}}|=|{\frac{{{a^2}+{c^2}}}{2}-\frac{{{{（{a+c}）}^2}}}{4}}|=\frac{{{{（{a-c}）}^2}}}{4}=2$，
∴（a-c）²=8，即$a-c=2\sqrt{2}$，
作AH⊥BM交BM的延长线于H．
故${S_{△ABC}}=2{S_{△ABM}}=2×\frac{1}{2}|{BM}|•|{AH}|=2|{a-b}|=2|{a-\frac{a+c}{2}}|=a-c=2\sqrt{2}$．
故答案为：$2\sqrt{2}$．

点评 本题考查三角形面积的计算，考查抛物线的方程，考查学生的计算能力，属于中档题．