Question

4．定义在[0，+∞）的函数f（x）的导函数为f′（x），对于任意的x≥0，恒有f′（x）＞f（x），a=$\frac{f（2）}{{e}^{2}}$，b=$\frac{f（3）}{{e}^{3}}$，则a，b的大小关系是（　　）

• A． a＞b
• B． a＜b
• C． a=b
• D． 无法确定

Answer 1

分析 构造新函数g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，研究其单调性即可．

解答 解：令g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，则g′（x）=$\frac{f′（x{）e}^{x}-f（x{）e}^{x}}{{e}^{2x}}$=$\frac{f′（x）-f（x）}{{e}^{x}}$，
∵对任意x≥0，恒有f（x）＜f′（x），e^x＞0，
∴g′（x）＞0，即g（x）是在定义域上是增函数，
所以g（3）＞g（2），即b＞a，
故选：B

点评 本题考查函数的单调性，构造新函数是解决本题的关键，属于中档题．