Question

19．若函数f（x）=|lnx|+ax有且仅有两个零点，则实数a=$-\frac{1}{e}$．

Answer 1

分析 由函数零点的定义列出方程并移项，作出函数f（x）和直线y=-ax的图象，利用导数的几何意义求出对应的切线方程以及斜率，利用图象即可求出答案．

解答 解：由f（x）=|lnx|+ax=0得，|lnx|=-ax，
作出函数f（x）和y=-ax的图象如图：
由图得，当直线y=-ax与y=lnx在x＞1时相切时，
函数f（x）有两个不相等的零点，
设切点P的坐标为（x₀，y₀），
∵f′（x）=$\frac{1}{x}$，∴f′（x₀）=$\frac{1}{{x}_{0}}$，
则切线方程为y-y₀=$\frac{1}{{x}_{0}}$（x-x₀），即y=$\frac{1}{{x}_{0}}$•x+y₀-1=$\frac{1}{{x}_{0}}$•x+lnx₀-1，
∵切线方程为y=-ax，
∴-a=$\frac{1}{{x}_{0}}$且lnx₀-1=0，解得x₀=e，则a=$-\frac{1}{e}$，
∴要使函数f（x）有且仅有两个零点，则a=$-\frac{1}{e}$，
故答案为：$-\frac{1}{e}$．

点评 本题考查函数的零点与图象交点之间的转化，导数的几何意义，考查转化思想和数形结合思想，正确转化和画出图象是解决本题的关键．