Question

9．下列四个图象中，有一个是函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³+ax²+（a²-9）x+1（a∈R，a≠0）的导函数y=f′（x）的图象，则f（1）=（　　）

• A． $\frac{13}{3}$
• B． $\frac{4}{3}$
• C． -$\frac{5}{3}$
• D． 1

Answer 1

分析 先求出f′（x）=（x+a）²-9，根据开口方向，对称轴，判断哪一个图象是导函数y=f′（x）的图象，再根据图象求出a的值，最后求出f（1）．

解答 解：∵f（x）=$\frac{1}{3}$x³+ax²+（a²-9）x+1，
∴f′（x）=x²+2ax+（a²-9）=（x+a）²-9，
∴开口向上，对称轴x=-a，
∵a∈R，a≠0
∴只有第三个图是导函数y=f′（x）的图象，
∴a²-9=0，x=-a＞0，
∴a=-3，
∴f（x）=$\frac{1}{3}$x³-3x²+1，
∴f（1）=$-\frac{5}{3}$，
故选：C．

点评 本题主要考查求函数的导数，根据导函数求得导函数的图象，属于中档题．