Question

4．已知函数f（x）=x²-lnx．
（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）设g（x）=x²-x+t，若函数h（x）=f（x）-g（x）在$[\frac{1}{e}，e]$上（这里e≈2.718）恰有两个不同的零点，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，得到f′（1）和f（1）的值，代入直线方程即可；
（Ⅱ）问题等价于t=x-lnx在$[\frac{1}{e}，e]$上恰有两个不同的实根，根据函数的单调性求出t的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）函数定义域为（0，+∞），
f′（x）=2x-$\frac{1}{x}$，∴f′（1）=1，
又f（1）=1，∴所求切线方程为y-1=x-1，
即：x-y=0；
（Ⅱ）函数h（x）=f（x）-g（x）=-lnx+x-t在$[\frac{1}{e}，e]$上恰有两个不同的零点，
等价于-lnx+x-t=0在$[\frac{1}{e}，e]$上恰有两个不同的实根，
等价于t=x-lnx在$[\frac{1}{e}，e]$上恰有两个不同的实根，
令k（x）=x-lnx，则$k'（x）=1-\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x}$，
∴当$x∈（\frac{1}{e}，1）$时，k′（x）＜0，∴k（x）在$（\frac{1}{e}，1）$递减；
当x∈（1，e]时，k′（x）＞0，∴k（x）在（1，e]递增，
故k_min（x）=k（1）=1，又$k（\frac{1}{e}）=\frac{1}{e}+1，k（e）=e-1$，
∵$k（\frac{1}{e}）-k（e）=2-e+\frac{1}{e}＜0$，
∴$k（\frac{1}{e}）＜k（e）$，∴$k（1）＜t≤k（\frac{1}{e}）$，
即$t∈（1，1+\frac{1}{e}]$．

点评 本题考查了曲线的切线方程，考查函数的单调性、最值问题，考查参数分离，是一道中档题．