Question

16．已知函数f（x）=xe^x-ae^x-1，且f′（1）=e．
（1）求a的值及f（x）的单调区间；
（2）若关于x的方程f（x）=kx²-2（k＞2）存在两个不相等的正实数根x₁，x₂，证明：|x₁-x₂|＞ln$\frac{4}{e}$．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，根据f′（1）=e，求出a的值，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（2）问题转化为求函数g（x）=（x-1）e^x-kx²+2的单调性，得到x₁，x₂的范围，从而证出结论．

解答 （1）解：f′（x）=（1+x）e^x-ae^x-1，
∴f′（1）=2e-a=e，解得：a=e，
故f（x）=xe^x-e^x，f′（x）=xe^x，
令f′（x）＞0，解得：x＞0，令f′（x）＜0，解得：x＜0，
∴f（x）在（-∞，0）递减，在（0，+∞）递增；
（2）证明：方程f（x）=kx²-2，即为（x-1）e^x-kx²+2=0，
设g（x）=（x-1）e^x-kx²+2，g′（x）=x（e^x-2k），
令g′（x）＞0，解得：x＞ln（2k），令g′（x）＜0，解得：0＜x＜ln（2k），
∴g（x）在（0，ln（2k））递减，在（ln（2k），+∞）递增，
由k＞2，得ln（2k）＞ln4＞1，
∵g（1）=-k+2＜0，∴g（ln（2k））＜0，
不妨设x₁＜x₂，（其中x₁，x₂为f（x）的两个不相等的正实数根），
∵g（x）在（0，ln（2k））递减，且g（0）=1＞0，g（1）=-k+2＜0
∴0＜x₁＜1，
同理根据函数g（x）在（ln（2k），+∞）上递增，且g（ln（2k））＜0，
得：x₂＞ln（2k）＞ln4，
∴|x₁-x₂|=x₂-x₁＞ln4-1=ln$\frac{4}{e}$，
即：|x₁-x₂|＞ln$\frac{4}{e}$．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道综合题．