Question

6．已知函数f（x）的定义域为（-∞，0），其导函数f′（x），且满足f（x）+f′（x）＜0，则不等式e^x+2019f（x+2015）＜f（-4）的解集为{x|-2019＜x＜-2015}．

Answer 1

分析 构造函数g（x）=e^x•f（x），求函数的导数，利用导数研究函数的单调性，将不等式进行转化求解即可．

解答 解：构造函数g（x）=e^x•f（x），
则g′（x）=[e^x•f（x）]′=e^x•f′（x）+e^x•f（x）=e^x•[f（x）+f′（x）]，
∵f（x）+f′（x）＜0，
∴g′（x）＜0，
即g（x）在（-∞，0）上为减函数，
由不等式e^x+2019f（x+2015）＜f（-4），
得：e^x+2015•f（x+2015）＜e^-4•f（-4），
即g（x+2015）＜g（-4），
则-4＜x+2015＜0，得-2019＜x＜-2015．
即不等式e^x+2019f（x+2015）＜f（-4）的解集为：{x|-2019＜x＜-2015}．
故答案为：{x|-2019＜x＜-2015}．

点评 本题主要考查不等式的求解，构造函数，判断函数的单调性，利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键．