Question

17．已知抛物线C：y²=4x，经过点（4，0）的直线l交抛物线C于A，B两点，M（-4，0），O为坐标原点．
（Ⅰ）证明：k_AM+k_BM=0；
（Ⅱ）若直线l的斜率为k（k＜0），求$\frac{k}{{k}_{AM}•{k}_{BM}}$的最小值．

Answer 1

分析 （I）设直线方程为x=my+4，代入抛物线方程得出交点的坐标关系，分别求出k_AM，k_BM，利用根与系数的关系化简即可得出结论；
（II）将k=$\frac{1}{m}$和（I）中的k_AM，k_BM代入$\frac{k}{{k}_{AM}•{k}_{BM}}$化简，利用基本不等式得出最值．

解答 证明：（Ⅰ）设l：x=my+4，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
将x=my+4代入y²=4x得y²-4my-16=0，
∴y₁+y₂=4m，y₁y₂=-16．
∴k_AM=$\frac{y1}{x1+4}$=$\frac{4{y}_{1}}{{{y}_{1}}^{2}+16}$=$\frac{4{y}_{1}}{{{y}_{1}}^{2}-{y}_{1}{y}_{2}}$=$\frac{4}{y1-y2}$，
同理：k_BM=$\frac{4}{y2-y1}$，
∴k_AM+k_BM=0．
解：（Ⅱ）∵直线l的斜率为k，
∴k=$\frac{1}{m}$．
∴m＜0．
$\frac{k}{{k}_{AM}•{k}_{BM}}$=$\frac{k}{\frac{4}{{y}_{1}-{y}_{2}}•\frac{4}{{y}_{2}-{y}_{1}}}$=-$\frac{k（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}{16}$=-$\frac{k}{16}$（16m²+64）=-$\frac{16{m}^{2}+64}{16m}$=-m+$\frac{4}{-m}$≥4，
当且仅当m=-2时等号成立，
∴$\frac{k}{kAM•kBM}$的最小值为4．

点评 本题考查了曲线的交点坐标，直线的斜率，基本不等式的应用，属于中档题．