Question

5．已知函数f（x）=e^1-x（-a+cosx），a∈R．
（Ⅰ）若函数f（x）存在单调减区间，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若a=0，证明：$?x∈[{-1，\frac{1}{2}}]$，总有f（-x-1）+2f′（x）•cos（x+1）＞0．

Answer 1

分析 （Ⅰ）对f（x）求导，整理得f（x）=e^1-x（a-（sinx+cosx）），函数存在单调递减区间，f'（x）＜0，有解，即可得到a-（sinx+cosx）＜0有解，利用辅助角公式及正弦函数性质求得a的取值范围；
（Ⅱ）若a=0，将f（-x-1）+2f′（x）•cos（x+1）整理得cos（x+1）[e^x+2-2e^1-x（sinx+cosx）]，$x∈[{-1，\frac{1}{2}}]$，cos（x+1）＞0，只要证明${e^{2x+1}}＞2\sqrt{2}sin（x+\frac{π}{4}）$，对于任意$x∈[{-1，\frac{1}{2}}]$上恒成立，先构造辅助函数$g（x）=2x+2-2\sqrt{2}sin（x+\frac{π}{4}）$，求导，根据函数单调性求得函数的最小值；再构造辅助函数h（x）=e^2x+1-（2x+2），$x∈[{-1，\frac{1}{2}}]$，求导，利用函数单调性判断函数的最小值；并且g（x）和h（x）取最小值时，不能同时取等号，即可证明，${e^{2x+1}}＞2\sqrt{2}sin（x+\frac{π}{4}）$，在$?x∈[{-1，\frac{1}{2}}]$上恒成立，不等式成立．

解答 解：（I）由已知，得f'（x）=-e^1-x（-a+cosx）-e^1-xsinx=e^1-x（a-（sinx+cosx））（2分）
因为函数f（x）存在单调减区间，所以方程f'（x）＜0有解．
而e^1-x＞0恒成立，即a-（sinx+cosx）＜0有解，所以a＜（sinx+cosx）_max．
又$sinx+cosx=\sqrt{2}sin（x+\frac{π}{4}）∈[{-\sqrt{2}，\sqrt{2}}]$，所以，$a＜\sqrt{2}$．（5分）
（II）因为a=0，所以f（x）=e^1-x•cosx，
所以f（-x-1）=e^x+2•cos（-x-1）=e^x+2•cos（x+1）．
因为2f'（x）•cos（x+1）=-2e^1-x（sinx+cosx）•cos（x+1），
所以f（-x-1）+2f'（x）•cos（x+1）=cos（x+1）[e^x+2-2e^1-x（sinx+cosx）]，
又对于任意$x∈[{-1，\frac{1}{2}}]$，cos（x+1）＞0．（6分）
要证原不等式成立，只要证e^x+2-2e^1-x（sinx+cosx）＞0，
只要证${e^{2x+1}}＞2\sqrt{2}sin（x+\frac{π}{4}）$，对于任意$x∈[{-1，\frac{1}{2}}]$上恒成立．（8分）
设函数$g（x）=2x+2-2\sqrt{2}sin（x+\frac{π}{4}）$，$x∈[{-1，\frac{1}{2}}]$，
则$g'（x）=2-2\sqrt{2}cos（x+\frac{π}{4}）$=$2\sqrt{2}（\frac{{\sqrt{2}}}{2}-cos（x+\frac{π}{4}））$，
当x∈[-1，0]时，g'（x）≤0，即g（x）在[-1，0]上是减函数，
当$x∈（{0，\frac{1}{2}}]$时，g'（x）＞0，即g（x）在$（{0，\frac{1}{2}}]$上是增函数，
所以，在$[{-1，\frac{1}{2}}]$上，g（x）_min=g（0）=0，所以g（x）≥0．
所以，$2\sqrt{2}sin（x+\frac{π}{4}）≤2x+2$，（当且仅当x=0时上式取等号）①（10分）
设函数h（x）=e^2x+1-（2x+2），$x∈[{-1，\frac{1}{2}}]$，则h'（x）=2e^2x+1-2=2（e^2x+1-1），
当$x∈[{-1，-\frac{1}{2}}]$时，h'（x）≤0，即h（x）在$[{-1，-\frac{1}{2}}]$上是减函数，
当$x∈（{-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}}]$时，h'（x）＞0，即h（x）在$（{-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}}]$上是增函数，
所以在$[{-1，\frac{1}{2}}]$上，$h{（x）_{min}}=h（-\frac{1}{2}）=0$，所以h（x）≥0，
即e^2x+1≥2x+2，（当且仅当$x=-\frac{1}{2}$时上式取等号）②．
综上所述，${e^{2x+1}}≥2x+2≥2\sqrt{2}sin（x+\frac{π}{4}）$，
因为①②不可能同时取等号
所以${e^{2x+1}}＞2\sqrt{2}sin（x+\frac{π}{4}）$，在$?x∈[{-1，\frac{1}{2}}]$上恒成立，
所以$?x∈[{-1，\frac{1}{2}}]$，总有f（-x-1）+2f'（x）•cos（x+1）＞0成立．（12分）

点评 本题考查利用导函数求函数的单调性及函数的最值，采用分析法及构造辅助函数证明不等式成立，过程繁琐，属于难题．