Question

20．已知向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b，\overrightarrow c$，满足$|\overrightarrow a|=4，|\overrightarrow b|=2$，$\overrightarrow a•\overrightarrow b=0$，$（\overrightarrow c-\overrightarrow a）•（\overrightarrow c-\overrightarrow b）=0$．
（1）求$|\overrightarrow a-2\overrightarrow b|$的值；
（2）求$|\overrightarrow c|$的最大值．

Answer 1

分析 （1）建立平面直角坐标系，由已知令$\overrightarrow a=（4，0）$，$\overrightarrow b=（0，2）$，$\overrightarrow c=（x，y）$，求得$\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}$的坐标，代入向量模的公式计算；
（2）由$（\overrightarrow c-\overrightarrow a）•（\overrightarrow c-\overrightarrow b）=0$，得（x-2）²+（y-1）²=5，令$x=2+\sqrt{5}cosθ$，$y=1+\sqrt{5}sinθ$，求出$|\overrightarrow{c}|$，利用辅助角公式化积后得答案．

解答 解：（1）建立平面直角坐标系，令$\overrightarrow a=（4，0）$，$\overrightarrow b=（0，2）$，$\overrightarrow c=（x，y）$，
则$\overrightarrow a-2\overrightarrow b=（4，0）-2（0，2）=（4，-4）$，
∴$|\overrightarrow a-2\overrightarrow b|=\sqrt{{4^2}+{{（-4）}^2}}=4\sqrt{2}$；
（2）∵$（\overrightarrow c-\overrightarrow a）•（\overrightarrow c-\overrightarrow b）=（x-4，y）•（x，y-2）=0$，
∴（x-2）²+（y-1）²=5，
令$x=2+\sqrt{5}cosθ$，$y=1+\sqrt{5}sinθ$，
则$|\overrightarrow c|=\sqrt{{x^2}+{y^2}}=\sqrt{{{（2+\sqrt{5}cosθ）}^2}+{{（1+\sqrt{5}sinθ）}^2}}$
=$\sqrt{10+4\sqrt{5}cosθ+2\sqrt{5}sinθ}$=$\sqrt{10+10sin（θ+φ）}≤\sqrt{10+10}=2\sqrt{5}$．
故$|\overrightarrow c|$的最大值为$2\sqrt{5}$．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量加减法的坐标运算，训练了向量模的求法，是中档题．