Question

9．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左，右焦点分别为F₁，F₂，点P是椭圆上异于长轴端点的任意一点，若M是线段PF₁上一点，且满足$\overrightarrow{M{F}_{1}}$=2$\overrightarrow{PM}$，$\overrightarrow{M{F}_{2}}•\overrightarrow{OP}$=0，则椭圆离心率的取值范围为（$\frac{1}{2}$，1）．

Answer 1

分析 设P（m，n），|m|＜a，又F₁（-c，0），F₂（c，0），运用向量共线的坐标表示，可得M的坐标，再由向量垂直的条件：数量积为0，由P的坐标满足椭圆方程，化简整理可得m的方程，求得m，由|m|＜a，解不等式结合离心率公式即可得到范围．

解答 解：设P（m，n），|m|＜a，
又F₁（-c，0），F₂（c，0），
$\overrightarrow{M{F}_{1}}$=2$\overrightarrow{PM}$，可得（-c-x_M，-y_M）=2（x_M-m，y_M-n），
可得M（$\frac{2m-c}{3}$，$\frac{2n}{3}$），
可得$\overrightarrow{OP}$=（m，n），$\overrightarrow{M{F}_{2}}$=（c-$\frac{2m-c}{3}$，-$\frac{2n}{3}$），
由$\overrightarrow{M{F}_{2}}•\overrightarrow{OP}$=0，可得m（c-$\frac{2m-c}{3}$）-$\frac{2{n}^{2}}{3}$=0，
化为n²=m（2c-m），
由P在椭圆上，可得$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{n}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
即有n²=b²（1-$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}$），
可得m（2c-m）=b²（1-$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}$），
化为$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$m²-2mc+a²-c²=0，
解得m=$\frac{{a}^{2}}{c}$-a，或m=$\frac{{a}^{2}}{c}$+a（舍去），
由$\frac{{a}^{2}}{c}$-a＜a，可得2c＞a，
即有e=$\frac{c}{a}$＞$\frac{1}{2}$，
但0＜e＜1，可得$\frac{1}{2}$＜e＜1．
故答案为：（$\frac{1}{2}$，1）．

点评 本题考查椭圆的离心率的范围，注意运用向量的坐标表示和向量垂直的条件：数量积为0，考查椭圆的范围，以及化简整理的运算能力，属于中档题．