Question

15．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左顶点和上顶点分别为A、B，左、右焦点分别是F₁，F₂，在线段AB上有且只有一个点P满足PF₁⊥PF₂，则椭圆的离心率为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}-1}}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{5}}}{3}$
• D． $\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$

Answer 1

分析 由题意可求得AB的方程，设出P点坐标，代入AB的方程，由PF₁⊥PF₂，得$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，运用导数求得极值点，结合椭圆的离心率公式，解方程即可求得答案．

解答 解：依题意，作图如下：
由A（-a，0），B（0，b），F₁（-c，0），F₂（c，0），
可得直线AB的方程为：$\frac{x}{-a}$+$\frac{y}{b}$=1，整理得：bx-ay+ab=0，
设直线AB上的点P（x，y），则bx=ay-ab，
x=$\frac{a}{b}$y-a，
由PF₁⊥PF₂，
∴$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（-c-x，-y）•（c-x，-y）=x²+y²-c²
=（$\frac{a}{b}$y-a）²+y²-c²，
令f（y）=（$\frac{a}{b}$y-a）²+y²-c²，
则f′（y）=2（$\frac{a}{b}$y-a）•$\frac{a}{b}$+2y，
由f′（y）=0得：y=$\frac{{a}^{2}b}{{a}^{2}+{b}^{2}}$，于是x=-$\frac{a{b}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$，
∴$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（-$\frac{a{b}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$）²+（$\frac{{a}^{2}b}{{a}^{2}+{b}^{2}}$）²-c²=0，
整理得：$\frac{{a}^{2}{b}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$=c²，又b²=a²-c²，e²=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$，
∴e⁴-3e²+1=0，
∴e²=$\frac{3±\sqrt{5}}{2}$，又椭圆的离心率e∈（0，1），
∴e²=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$=（$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$）²，
可得e=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
另解：由题意可得，直线AB与圆O：x²+y²=c²相切，
可得d=$\frac{ab}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=c，
又b²=a²-c²，e²=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$，
∴e⁴-3e²+1=0，
∴e²=$\frac{3±\sqrt{5}}{2}$，又椭圆的离心率e∈（0，1），
∴e²=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$=（$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$）²，
可得e=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
故选：D．

点评 本题考查椭圆的性质，向量的数量积的坐标表示，考查直线的方程的运用，着重考查椭圆离心率，以及化简整理的运算能力，属于中档题．