Question

7．已知曲线$y=\frac{2x}{x-1}$在点P（2，4）处的切线与直线l平行且距离为$2\sqrt{5}$，则直线l的方程为（　　）

• A． 2x+y+2=0
• B． 2x+y+2=0或2x+y-18=0
• C． 2x-y-18=0
• D． 2x-y+2=0或2x-y-18=0

Answer 1

分析 求出原函数的导函数，求得曲线$y=\frac{2x}{x-1}$在点P（2，4）处的切线方程，设出直线l的方程，再由两条平行线间的距离求得答案．

解答 解：由$y=\frac{2x}{x-1}$，得$y′=\frac{2（x-1）-2x}{（x-1）^{2}}=\frac{-2}{（x-1）^{2}}$，
∴y′|_x=2=-2，
∴曲线$y=\frac{2x}{x-1}$在点P（2，4）处的切线方程为y-4=-2（x-2），
即2x+y-8=0．
设l：2x+y+m=0．
由两条平行线间的距离公式得$\frac{|-8-m|}{\sqrt{5}}=2\sqrt{5}$，
解得：m=2或m=-18．
∴直线l的方程为2x+y+2=0或2x+y-18=0．
故选：B．

点评 本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了两条平行线间的距离公式，是中档题．