Question

2．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$（1-2cos²x+$\sqrt{3}$）-$\sqrt{3}$sin²（x-$\frac{π}{4}$）．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若f（x₀）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，x₀∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，求cos2x₀的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由三角函数中的恒等变换应用化简可得解析式f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$），根据三角函数的周期公式，求得f（x）的最小正周期，
（Ⅱ）f（x₀）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，求出sin（2x₀-$\frac{π}{6}$）的值，根据x₀的取值范围求出cos（2x₀-$\frac{π}{6}$），2x₀=2x₀-$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{6}$利用两角差的余弦函数求解即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=$\frac{1}{2}$（-cos2x+$\sqrt{3}$）-$\frac{\sqrt{3}}{2}$[1-cos2（x-$\frac{π}{4}$）]，
=-$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2（x-$\frac{π}{4}$），
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x，
=sin（2x-$\frac{π}{6}$），
则f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{ω}$=π；
（Ⅱ）f（x₀）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，sin（2x₀-$\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
x₀∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，2x₀-$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]，
∴cos（2x₀-$\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
cos2x₀=cos[（2x₀-$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{6}$]=cos（2x₀-$\frac{π}{6}$）cos$\frac{π}{6}$-sin（2x₀-$\frac{π}{6}$）sin$\frac{π}{6}$，
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{1}{2}$），
=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$．
∴cos2x₀=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$．

点评 本题考查二倍角公式、诱导公式及辅助角公式，函数的周期的求法，考查计算能力，属于中档题．