Question

7．定义在R上的函数f（x）满足f（x）=f（2-x），当x≠1时，有xf′（x）＞f（x）成立；若1＜m＜2，a=f（2^m），b=f（2），c=f（log₂m），则a，b，c大小关系为a＞b＞c．

Answer 1

分析 函数f（x）在定义域R内可导，f（x）=f（2-x），知函数f（x）的图象关于x=1对称．再根据函数的单调性比较大小即可．

解答 解：∵f（x）=f（2-x），
令x=x+1，则f（x+1）=f[2-（x+1）]=f（-x+1），
∴函数f（x）的图象关于x=1对称；
令g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，则g′（x）=$\frac{xf′（x）-f（x）}{{x}^{2}}$，
当x≠1时，xf′（x）＞f′（x）成立，
即xf′（x）-f′（x）＞0成立；
∴x＞1时，g′（x）＞0，g（x）递增，
∵1＜m＜2，
∴2＜2^m＜4，
0＜${log}_{2}^{m}$＜1，
∴a＞b＞c，
故答案为：a＞b＞c．

点评 本题考查利用导数研究函数单调性的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．