Question

18．设向量$\overrightarrow{OA}=（x+2，{x^2}-\sqrt{3}cos2α）$，$\overrightarrow{OB}=（y，\frac{y}{2}+sinαcosα）$，其中x，y，α为实数，若$\overrightarrow{OA}=2\overrightarrow{OB}$，则$\frac{x}{y}$的取值范围为（　　）

• A． [-6，1]
• B． [-1，6]
• C． [4，8]
• D． （-∞，1]

Answer 1

分析 根据向量的数量关系列出方程组，得出x，y的关系，根据三角函数的范围得出y的范围，从而得出$\frac{x}{y}$的范围．

解答 解：∵$\overrightarrow{OA}=2\overrightarrow{OB}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x+2=2y}\\{{x}^{2}-\sqrt{3}cos2α=y+2sinαcosα}\end{array}\right.$，
由x+2=2y得x=2y-2，
由x²-$\sqrt{3}$cos2α=y+2sinαcosα得：x²-y=$\sqrt{3}$cos2α+sin2α=2sin（2α+$\frac{π}{3}$）．
∴4y²-9y+4=2sin（2α+$\frac{π}{3}$）．
∴-2≤4y²-9y+4≤2，解得$\frac{1}{4}≤y≤2$．
∴$\frac{x}{y}$=$\frac{2y-2}{y}=2-\frac{2}{y}$．
∴当y=$\frac{1}{4}$时，$\frac{x}{y}$取得最小值-6，当y=2时，$\frac{x}{y}$取得最大值1．
故选：A．

点评 本题考查了平面向量数乘运算的意义，三角函数的恒等变换，二次不等式的解法，属于中档题．