Question

3．已知函数f（x）=1+x-alnx（a∈R）
（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）当f（x）有最小值，且最小值大于2a时，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得函数的定义域及导数，求f'（1）的值，直接利用直线方程的点斜式写直线方程；
（Ⅱ）确定函数的定义域，求导函数，分类讨论，利用导数的正负，可讨论函数y=f（x）的单调性；
（Ⅲ）分类讨论a的取值范围，利用函数单调性求得函数的最小值，利用最小值大于2a，求得a的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）=1+x-alnx的定义域为（0，+∞），且$f'（x）=1-\frac{a}{x}=\frac{x-a}{x}$．                                         …（1分）
∴f（1）=2，f'（1）=1-a，
∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程y=（1-a）（x-1）+2．    …（4分）
（Ⅱ）∵函数f（x）的定义域为（0，+∞），且$f'（x）=1-\frac{a}{x}=\frac{x-a}{x}$．
∴当a≤0时，$f'（x）=1-\frac{a}{x}=\frac{x-a}{x}＞0$，f（x）在（0，+∞）上单调递增．…（6分）
当a＞0时，由$f'（x）=1-\frac{a}{x}=\frac{x-a}{x}＞0$得x＞a，
∴f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增．                …（7分）
综上，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当a＞0时，f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增．                                          …（8分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，
∴f（x）无最小值．                                             …（9分）
当a＞0时，f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增，
∴f（x）_min=f（a）=1+a-alna．                        …（10分）
由f（x）_min=f（a）=1+a-alna＞2a得$lna-\frac{1}{a}+1＜0$．       …（11分）
令$g（a）=lna-\frac{1}{a}+1$，则$g'（a）=\frac{1}{a}+\frac{1}{a^2}＞0$，
∴g（a）在（0，+∞）上单调递增，且g（1）=0，
∴a∈（0，1）时g（a）＜0，即$lna-\frac{1}{a}+1＜0$，
∴a的取值范围是（0，1）．                               …（13分）

点评 本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，正确求导，合理分类是关键，属于中档题．