Question

9．试探究：是否存在实数m，使得椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1上有不同的两点关于直线y=4x+m对称？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 根据对称性可知线段AB被直线y=4x+m垂直平分，从而可得直线AB的斜率k=-$\frac{1}{4}$，直线AB与椭圆有两个交点，且AB的中点M在直线y=4x+m，可设直线AB的方程为y=-$\frac{x}{4}$+t，由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{x}{4}+t}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}=12}\end{array}\right.$，可得13x²-8tx+16（t²-3）=0可求中点M，由△=64t²-4×13×16（t²-3）＞0可求b的范围，由中点M在直线y=4x+m可得m，t的关系，从而可求m的范围．

解答 解：假设存在实数m，使得椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1上有不同的两点关于直线y=4x+m对称．
设椭圆上关于直线y=4x+m对称的点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则根据对称性可知线段AB被直线y=4x+m垂直平分．
可得直线AB的斜率k=-$\frac{1}{4}$，直线AB与椭圆有两个交点，
且AB的中点M（x₀，y₀）在直线y=4x+m，
可设直线AB的方程为y=-$\frac{x}{4}$+t，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{x}{4}+t}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}=12}\end{array}\right.$，消去y，整理可得13x²-8tx+16（t²-3）=0，
即有x₁+x₂=$\frac{8t}{13}$，y₁+y₂=-$\frac{1}{4}$（x₁+x₂）+2t=-$\frac{2t}{13}$+2t=$\frac{24t}{13}$，
由△=64t²-4×13×16（t²-3）＞0可得，-$\frac{\sqrt{13}}{2}$＜t＜$\frac{\sqrt{13}}{2}$．
所以x₀=$\frac{4t}{13}$，y₀=$\frac{12t}{13}$，代入直线y=4x+m可得m=-$\frac{4t}{13}$．
则存在这样的m，且m∈（-$\frac{2\sqrt{13}}{13}$，$\frac{2\sqrt{13}}{13}$）．

点评 本题主要考查了直线与椭圆的位置关系的应用，解题的关键是灵活应用已知中的对称性设出直线方程，且由中点在y=4x+m上建立m，t之间的关系，还要注意方程的根与系数的关系的应用．