Question

18．已知椭圆的方程为$\frac{x^2}{a^2}$+y²=1（a＞1），上顶点为A，左顶点为B，设P为椭圆上一点，则△PAB的最大值为$\sqrt{2}$+1．若已知M（-$\sqrt{3}$，0），N（$\sqrt{3}$，0），点Q为椭圆上任意一点，则$\frac{1}{{|{QN}|}}$+$\frac{4}{{|{QM}|}}$的最小值为（　　）

• A． 2
• B． $\frac{9}{4}$
• C． 3
• D． 3+2$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 利用直线与椭圆相切的性质，可得b，再利用点到直线的距离公式、三角形面积计算公式可得a，再利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：依题意，k_AB=$\frac{1}{a}$，∴设切线为$y=\frac{1}{a}x+b$．
∴$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{1}{a}x+b\\ \frac{x^2}{a^2}+{y^2}=1\end{array}\right.$，化为2x²+2abx+a²b²-a²=0，
∵△=0，∴4a²b²-8（a²b²-a²）=0，解得b²=2．
∴b=-$\sqrt{2}$，
∵y=$\frac{1}{a}$x+1，y=$\frac{1}{a}$x-$\sqrt{2}$，
∴d=$\frac{{\sqrt{2}+1}}{{\sqrt{\frac{1}{a^2}+1}}}$=$\frac{{a（{\sqrt{2}+1}）}}{{\sqrt{{a^2}+1}}}$，
∵|AB|=$\sqrt{{a^2}+1}$，
S=$\frac{1}{2}$•d•|AB|=$\sqrt{2}$+1，
∴a=2，∴|QM|+|QN|=2a=4．
∴$\frac{1}{{|{QN}|}}+\frac{4}{{|{QM}|}}$=（$\frac{1}{{|{QN}|}}+\frac{4}{{|{QM}|}}$）•$\frac{1}{4}$（|QM|+|QN|）=1+$\frac{1}{4}$+$\frac{{|{QM}|}}{{4|{QN}|}}+\frac{{|{QN}|}}{{|{QM}|}}$，
根据基本不等式，原式≥1+$\frac{5}{4}$=$\frac{9}{4}$，当且仅当|QM|=2|QN|取等．
故选：B．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相切的充要条件、点到直线的距离公式、不等式的解法、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．