Question

8．设数列{a_n}的前n项和为S_n，且有a₁=1，2S_n=（n+1）a_n，n∈N^*．
（1）求a_n；
（2）求数列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}的前n项和．

Answer 1

分析 （1）由2S_n=（n+1）a_n，得2S_n-1=na_n-1，（n≥2），两式相减得2a_n=（n+1）a_n-na_n-1，即{$\frac{{a}_{n}}{n}$}是一个常数列，且$\frac{{a}_{1}}{1}$=1，问题得以解决，
（2）先求出S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$，再裂项$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），即可求前n项和．

解答 解：（1）由2S_n=（n+1）a_n，得2S_n-1=na_n-1，（n≥2），
两式相减得2a_n=（n+1）a_n-na_n-1，
∴（n-1）a_n=na_n-1，（n≥2），
∴$\frac{{a}_{n}}{n}$=$\frac{{a}_{n-1}}{n-1}$，
∴{$\frac{{a}_{n}}{n}$}是一个常数列，且$\frac{{a}_{1}}{1}$=1，
∴a_n=n，（n∈N^*），
（2）∵S_n=1+2+3+…+n=$\frac{n（n+1）}{2}$，
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
∴数列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}的前n项和为2（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）=2（1-$\frac{1}{n+1}$）=$\frac{2n}{n+1}$

点评 本题考查了递推公式求出数列的通项公式和裂项法求前n项和，属于中档题．