Question

1．已知以角C为钝角的三角形ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c，$\vec m$=（a，2c），$\vec n$=（$\sqrt{3}$，-sinA），且$\vec m$与$\vec n$垂直．
（1）求角C的大小；
（2）求cosA+cosB的取值范围．

Answer 1

分析 （1）结合向量垂直和正弦定理即可求出；
（2）利用和差化积化简得到cosA+cosB=$\sqrt{3}$cos（B-$\frac{π}{6}$），再根据余弦函数的性质即可求出．

解答 解：（1）∵$\vec m$=（a，2c），$\vec n$=（$\sqrt{3}$，-sinA），且$\vec m$与$\vec n$垂直，
∴$\sqrt{3}$a-2csinA=0，
由正弦定理得$\sqrt{3}$sinA=2sinCsinA，
∴sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵角C为钝角，
∴C=$\frac{2π}{3}$，
（2）由cosA+cosB=2cos$\frac{A+B}{2}$cos$\frac{A-B}{2}$=$\sqrt{3}$cos（B-$\frac{π}{6}$），
∵B∈（0，$\frac{π}{3}$），
∴-$\frac{π}{6}$＜B-$\frac{π}{6}$＜$\frac{π}{6}$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜cos（B-$\frac{π}{6}$）≤1，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜$\sqrt{3}$cos（B-$\frac{π}{6}$）≤$\sqrt{3}$
故cosA+cosB的取值范围为（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sqrt{3}$]．

点评 本题是基础题，考查三角函数的化简与求值，余弦定理的应用，平面向量的数量积的应用，考查计算能力，常考题型．