Question

11．已知函数f（x）=ax²+bx（a，b∈R），且满足1＜f（1）＜2，3＜f（2）＜8，则f（3）的取值范围是（3，21）．

Answer 1

分析 根据f（1），f（2）的范围得到：1＜a+b＜2，3＜4a+2b＜8，根据不等式的性质求出3a+b的范围，从而求出f（3）的范围即可．

解答 解：f（x）=ax²+bx（a，b∈R），
∵1＜f（1）＜2，3＜f（2）＜8，
∴1＜f（2）-f（1）＜7，
令f（3）=mf（1）+nf（2），
即9a+3b=m（a+b）+n（4a+2b），
∴$\left\{\begin{array}{l}m+4n=9\\ m+2n=3\end{array}\right.$，
解得：m=3，n=-3
∴f（3）=3[f（2）-f（1）]，
∴3＜f（3）＜21，
故答案为：（3，21）．

点评 本题考查了二次函数的性质，考查不等式的性质，是一道基础题．