Question

19．设M是△ABC内一点，且$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=4$\sqrt{3}$，∠BAC=30°，定义f（M）=（m，n，p），其中m，n，p分别是△MBC，△MCA，△MAB的面积，若f（M）=（1，n，p），则$\frac{1}{n}$+$\frac{4}{p}$的最小值为6．

Answer 1

分析 由向量的数量积公式，求出|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AC}$|=8，由题意得，n+p=2-$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，然后通过基本不等式求出最小值，即可得答案．

解答 解：∵$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=4$\sqrt{3}$，∠BAC=30°，
∴|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AC}$|cos∠BAC=4$\sqrt{3}$，
∴|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AC}$|=8
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AC}$|sincos∠BAC=2，
由题意得n+p=2-$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，
∴$\frac{1}{n}$+$\frac{4}{p}$=$\frac{2}{3}$（$\frac{1}{n}$+$\frac{4}{p}$）（n+p）=$\frac{2}{3}$（1+4+$\frac{p}{n}$+$\frac{4n}{p}$）≥$\frac{2}{3}$（5+2$\sqrt{\frac{p}{n}•\frac{4n}{p}}$）=6，当且仅当n=$\frac{1}{2}$，p=1时取等号，
∴最小值为6．
故答案为：6．

点评 本题考查基本不等式的应用和余弦定理，解题时要认真审题，注意公式的灵活运用．