Question

4．已知椭圆的焦点在x轴上，且椭圆的左焦点F₁将长轴分成的两条线段的比为1：2，焦距为2，过右焦点F₂的直线的倾斜角为45°，交椭圆于A，B两点．求：
（1）椭圆的标准方程；
（2）直线与圆的相交弦长|AB|．

Answer 1

分析 （1）由题意可得c=1，且$\frac{a-c}{a+c}=\frac{1}{2}$，求得a，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求；
（2）由已知得到AB所在直线方程，联立直线方程与椭圆方程，利用弦长公式求得|AB|．

解答 解：（1）如图，
由题意可知，2c=2，c=1．
$\frac{a-c}{a+c}=\frac{1}{2}$，∴a=3c．
则a=3，∴b²=a²-c²=8．
∴椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{8}=1$；
（2）AB所在直线的斜率k=tan45°=1，
直线方程为y-0=1×（x-1），即y=x-1．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{8}=1}\end{array}\right.$，得17x²-18x-63=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{18}{17}，{x}_{1}{x}_{2}=-\frac{63}{17}$．
∴|AB|=$\sqrt{2}|{x}_{1}-{x}_{2}|=\sqrt{2}•\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{2}•\sqrt{（\frac{18}{17}）^{2}-4×（-\frac{63}{17}）}$=$\sqrt{2}•\frac{48\sqrt{2}}{17}=\frac{96}{17}$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与椭圆位置关系的应用，考查弦长公式的应用，体现了“设而不求”的解题思想方法，是中档题．