Question

15．f（x）=mx²-m²lnx+x，
（Ⅰ）若函数f（x）在x=1处取得极小值，求m的值：
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间：
（Ⅲ）当m＞0，x∈[${\frac{1}{e}$，+∞）时，曲线y=f（x）上总存在经过原点的切线．试求m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，得到f′（1）=0，求出m的值；（Ⅱ）求出函数f（x）导数，通过讨论m的范围，求出函数的单调区间即可；
（Ⅲ）问题转化为求g（x）=x²+mlnx-m的最小值，从而求出m的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=$\frac{2{mx}^{2}+x{-m}^{2}}{x}$，（x＞0），
∵函数f（x）在x=1处取得极小值，∴f′（1）=0，解得：m=1±$\sqrt{2}$，
经检验m=1+$\sqrt{2}$时，函数f（x）在x=1处取得极小值，
故m=1+$\sqrt{2}$；
（Ⅱ）令f′（x）=0，即2mx²+x-m²=0，（x＞0），
①当m=0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）递增，
②m＞0时，△=1+8m³＞0，
故x₁=$\frac{-1-\sqrt{1+{8m}^{3}}}{4m}$，x₂=$\frac{-1+\sqrt{1+{8m}^{2}}}{4m}$，且x₁＜0＜x₂，
∴f（x）在（0，$\frac{-1+\sqrt{1+{8m}^{2}}}{4m}$）递增，在（$\frac{-1+\sqrt{1+{8m}^{2}}}{4m}$，+∞）递减，
③-$\frac{1}{2}$＜m＜0时，△=1+8m³＞0，由x₁+x₂＞0，x₁•x₂＞0，得：x₁＞x₂＞0，
∴f（x）在区间（0，$\frac{-1+\sqrt{1+{8m}^{2}}}{4m}$），（$\frac{-1-\sqrt{1+{8m}^{3}}}{4m}$，+∞）递减，
在（$\frac{-1+\sqrt{1+{8m}^{2}}}{4m}$，$\frac{-1-\sqrt{1+{8m}^{3}}}{4m}$）递增，
④m≤-$\frac{1}{2}$时，△≤0，f′（x）≤0，f（x）在（0，+∞）递减；
（Ⅲ）由题意，方程$\frac{f（x）}{x}$=f′（x）在[$\frac{1}{e}$，+∞）有解，
即方程$\frac{{mx}^{2}{-m}^{2}lnx+x}{x}$=$\frac{2{mx}^{2}+x{-m}^{2}}{x}$有解，（x≥$\frac{1}{e}$），
整理得：x²+mlnx-m=0，
设g（x）=x²+mlnx-m，（x≥$\frac{1}{e}$），g′（x）=2x+$\frac{m}{x}$＞0，
∴g（x）在[$\frac{1}{e}$，+∞）递增，g（x）_min=g（$\frac{1}{e}$）=$\frac{1}{{e}^{2}}$-2m，
∵g（e）=e²＞0，∴只需$\frac{1}{{e}^{2}}$-2m≤0，
∴m≥$\frac{1}{{2e}^{2}}$．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道综合题．