Question

15．已知函数f（x）=（2-a）lnx+$\frac{1}{x}$+2ax．
（Ⅰ）当a=2时，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）当a＜0时，讨论f（x）的单调性．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当a=2时，求出函数f（x）的导数，利用导数判断函数f（x）的单调性与极值；
（Ⅱ）求出f（x）的导数f′（x），讨论a的取值范围，利用导数即可判断函数f（x）在定义域（0，+∞）的单调性．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），
当a=2时，函数f（x）=$\frac{1}{x}$+4x，
所以f′（x）=-$\frac{1}{{x}^{2}}$+4=$\frac{{4x}^{2}-1}{{x}^{2}}$，
令f′（x）＞0，所以x＞$\frac{1}{2}$或x＜-$\frac{1}{2}$，
因为x＞0，所以函数f（x）单调增区间是（$\frac{1}{2}$，+∞），单调减区间是（0，$\frac{1}{2}$），
所以函数f（x）在x=$\frac{1}{2}$处取得极小值，f（$\frac{1}{2}$）=4，无极大值；
（Ⅱ）f′（x）=$\frac{2-a}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$+2a=$\frac{（2x-1）（ax+1）}{{x}^{2}}$，
令f′（x）=0，得x₁=$\frac{1}{2}$，x₂=-$\frac{1}{a}$，
当a=-2时，f′（x）≥0，函数f（x）在定义域（0，+∞）单调递增；
当-2＜a＜0时，在区间（0，$\frac{1}{2}$），（-$\frac{1}{a}$，+∞）上f′（x）＜0，f（x）单调递减，
在区间（$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{a}$）上f′（x）＞0，f（x）单调递增；
当a＜-2时，在区间（0，-$\frac{1}{a}$），（$\frac{1}{2}$，+∞）上f′（x）＜0，f（x）单调递减，
在区间（-$\frac{1}{a}$，$\frac{1}{2}$）上f′（x）＞0，f（x）单调递增；
综上所述，当a=-2时，函数f（x）的在定义域（0，+∞）内单调递增；
当-2＜a＜0时，f（x）在区间（0，$\frac{1}{2}$），（-$\frac{1}{a}$，+∞）内单调递减，在区间（$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{a}$）内单调递增；
当a＜-2时，f（x）在区间（0，-$\frac{1}{a}$），（$\frac{1}{2}$，+∞）内单调递减，在区间（-$\frac{1}{a}$，$\frac{1}{2}$）内f（x）单调递增．

点评 本题考查了利用导数判断函数的单调性问题，也考查了分类讨论思想的应用问题，是综合性题目．