Question

3．已知函数f（x）=x-1-a（x-1）²-lnx（a∈R）．
（1）当a=0时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数g（x）=f（x）-x+1有一个极小值点和一个极大值点，求a的取值范围；
（3）若存在k∈（1，2），使得当x∈（0，k]时，f（x）的值域是[f（k），+∞），求a的取值范围．注：自然对数的底数e=2.71828…

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（2）求出g（x）的导数，得到关于a的不等式组，解出验算即可；
（3）求出f（x）的导数，通过讨论a的范围确定函数的单调区间，得到关于a的不等式，解出即可．

解答 解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞）．
当a=0时，$f'（x）=1-\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x}$．…（1分）
f'（x）＜0?0＜x＜1；  f'（x）＞0?x＞1．
所以，函数f（x）的增区间为（1，+∞），减区间为（0，1）．…（3分）
（2）g（x）=-a（x-1）²-lnx，则$g'（x）=-2a（x-1）-\frac{1}{x}=-\frac{{2a{x^2}-2ax+1}}{x}$．…（4分）
令h（x）=2ax²-2ax+1（x＞0），若函数g（x）有两个极值点，
则方程h（x）=0必有两个不等的正根，设两根为x₁，x₂，
于是$\left\{\begin{array}{l}2a≠0\\△=4{a^2}-8a＞0\\{x_1}+{x_2}=1＞0\\{x_1}{x_2}=\frac{1}{2a}＞0.\end{array}\right.$…（6分）
解得a＞2．…（7分）
当a＞2时，h（x）=0有两个不相等的正实根，设为x₁，x₂，不妨设x₁＜x₂，
则$g'（x）=-\frac{{2a（x-{x_1}）（x-{x_2}）}}{x}=-\frac{h（x）}{x}$．
当0＜x＜x₁时，h（x）＞0，g'（x）＜0，g（x）g'（x）＞0
在（0，x₁）上为减函数；
当x₁＜x＜x₂时，h（x）＜0，g（x）在（x₁，x₂）上为增函数；
当x＞x₂时，h（x）＞0，g'（x）＜0，函数g（x）在（x₂，+∞）上为减函数．
由此，x=x₁是函数g（x）的极小值点，x=x₂是函数g（x）的极大值点．符合题意．
综上，所求实数a的取值范围是（2，+∞）．…（8分）
（3）$f'（x）=1-2a（x-1）-\frac{1}{x}=-\frac{{2a{x^2}-（2a+1）x+1}}{x}=-\frac{（x-1）（2ax-1）}{x}$．…（9分）
①当a≤0时，$\frac{2ax-1}{x}＜0$．
当0＜x＜1时，f'（x）＜0，f（x）在（0，1）上为减函数；
当x＞1时，f'（x）＞0，f（x）在（1，+∞）上为增函数．
所以，当x∈（0，k]（1＜k＜2）时，f（x）_min=f（1）=0＜f（k），f（x）的值域是[0，+∞）．
不符合题意．…（10分）
②当a＞0时，$f'（x）=-\frac{{2a（x-1）（x-\frac{1}{2a}）}}{x}$．
（ i）当$\frac{1}{2a}＜1$，即$a＞\frac{1}{2}$时，当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下：

x	$（0，\frac{1}{2a}）$	$\frac{1}{2a}$	$（\frac{1}{2a}，1）$	1	（1，+∞）
f'（x）	-	0	+	0	-
f（x）	减函数	极小值	增函数	极大值	减函数

若满足题意，只需满足$f（\frac{1}{2a}）＞f（2）$，即$\frac{1}{2a}-1-a{（\frac{1}{2a}-1）^2}-ln\frac{1}{2a}＞1-a-ln2$．
整理得$\frac{1}{4a}+ln2a+ln2-1＞0$．…（11分）
令$F（a）=\frac{1}{4a}+ln2a+ln2-1（a≥\frac{1}{2}）$，当$a＞\frac{1}{2}$时，$F'（a）=\frac{1}{a}-\frac{1}{{4{a^2}}}=\frac{4a-1}{{4{a^2}}}＞0$，
所以F（a）在$（\frac{1}{2}，+∞）$上为增函数，
所以，当$a＞\frac{1}{2}$时，$F（a）＞F（\frac{1}{2}）=ln2-\frac{1}{2}＞ln\sqrt{e}-\frac{1}{2}=0$．
可见，当$a＞\frac{1}{2}$时，$f（\frac{1}{2a}）＞f（2）$恒成立．
故若$a＞\frac{1}{2}$，当x∈（0，k]（1＜k＜2）时，函数f（x）的值域是[f（k），+∞）．
所以$a＞\frac{1}{2}$满足题意．…（12分）（ ii）当$\frac{1}{2a}=1$，即$a=\frac{1}{2}$时，$f'（x）=-\frac{{{{（x-1）}^2}}}{x}≤0$，当且仅当x=1时取等号．
所以f（x）在（0，+∞）上为减函数．从而f（x）在（0，k]上为减函数．符合题意．…（13分）
（ iii）当$\frac{1}{2a}＞1$，即$0＜a＜\frac{1}{2}$时，当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：

x	（0，1）	1	$（1，\frac{1}{2a}）$	$\frac{1}{2a}$	$（\frac{1}{2a}，+∞）$
f'（x）	-	0	+	0	-
f（x）	减函数	极小值0	增函数	极大值	减函数

若满足题意，只需满足f（2）＜f（1），且$\frac{1}{2a}＜2$（若$\frac{1}{2a}≥2$，不符合题意），即a＞1-ln2，且$a＞\frac{1}{4}$．
又$1-ln2＞\frac{1}{4}$，所以a＞1-ln2．此时，$1-ln2＜a＜\frac{1}{2}$．
综上，a＞1-ln2．
所以实数a的取值范围是（1-ln2，+∞）．…（14分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值、极值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道综合题．