Question

8．已知实数x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}x-y≥0\\ x+y-4≤0\\ y≥1\end{array}\right.$，则$z={（{\frac{1}{2}}）^{-2x+y}}$的最小值为2．

Answer 1

分析 由$z={（{\frac{1}{2}}）^{-2x+y}}$=2^2x-y，设m=2x-y，求m的最小值即可得到结论．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域如图，
∵$z={（{\frac{1}{2}}）^{-2x+y}}$=2^2x-y，
∴m=2x-y，
要求$z={（{\frac{1}{2}}）^{-2x+y}}$的最小值，即求m的最小值即可，
由m=2x-y，得y=2x-m，
平移直线y=2x-m，由平移可知当直线y=2x-m，
经过点A时，直线y=2x-m的截距最大，此时m取得最小值，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=1}\\{x-y=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=1}\end{array}\right.$，即A（1，1）．
代入m=2x-y，得m=2-1=1，
即$z={（{\frac{1}{2}}）^{-2x+y}}$=2^2x-y的最小值为2．
故答案为：2

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．