Question

16．设定义在（-1，1）上的函数f（x）的导函数f′（x）=5+cosx，且f（0）=0，则不等式f（x-1）+f（1-x²）＜0的解集为（　　）

• A． {x|1$＜x＜\sqrt{2}$}
• B． {x|x＞1或x＜-1}
• C． {x|-1＜x＜1}
• D． {x|0＜x＜1}

Answer 1

分析 由题意函数的导函数f′（x）=5+cosx，恒正，故函数是增函数，再由函数是奇函数将不等式f （x-1）+f （1-x²）＜0转化为f （x-1）＜f （x²-1），由单调性及定义转化为不等式组解之即可．

解答 解：∵函数的导函数f′（x）=5+cosx，恒正，
∴函数是增函数，
∵y=f（x）的导函数为f′（x）=5+cosx，
∴f（x）=5x+sinx+c，
∵f（0）=0，
∴f（0）=0+0+c=0，
解得c=0，
∴f（x）=5x+sinx，
∵f（-x）=-5x-sinx=-（5x+sinx）=-f（x），
∴函数f（x）为奇函数，
则不等式f （x-1）+f （1-x²）＜0转化为f （x-1）＜f （x²-1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1＜x-1＜1}\\{-1{＜x}^{2}-1＜1}\\{{x}^{2}-1＞x-1}\end{array}\right.$，解得x∈（1，$\sqrt{2}$）
故选：A．

点评 本题考查函数的单调性与导数的关系以及抽象不等式的解法，求解本题的关键是根据导数判断出函数的单调性以及利用奇函数的性质与单调性将不等式转化为不等式组，本题求解时易因为忘记定义域的限制导致解题失败，解题时不要忘记验证函数有意义的范围即函数的定义域．