Question

18．设f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（-2）=0，当x＞0时，xf′（x）-f（x）＞0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（-2，0）∪（2，+∞）．

Answer 1

分析 构造函数g（x），利用g（x）的导数判断函数g（x）的单调性与奇偶性，求出不等式的解集即可．

解答 解：设g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，则g（x）的导数为：
g′（x）=$\frac{xf′（x）-f（x）}{{x}^{2}}$，
∵当x＞0时总有xf′（x）-f（x）＞0成立，
即当x＞0时，g′（x）＞0，
∴当x＞0时，函数g（x）为增函数，
又∵g（-x）=$\frac{f（-x）}{-x}$=$\frac{-f（x）}{-x}$=$\frac{f（x）}{x}$=g（x），
∴函数g（x）为定义域上的偶函数，
∴x＜0时，函数g（x）是减函数，
又∵g（-2）=$\frac{f（-2）}{-2}$=0=g（2），
∴x＞0时，由f（x）＞0，得：g（x）＞g（2），解得：x＞2，
x＜0时，由f（x）＞0，得：g（x）＜g（-2），解得：x＞-2，
∴f（x）＞0成立的x的取值范围是：（-2，0）∪（2，+∞）．
故答案为：（-2，0）∪（2，+∞）．

点评 本题考查了利用导数判断函数的单调性，并由函数的奇偶性和单调性解不等式的应用问题，是综合题目．