Question

如图所示，边长为a的等边△ABC的中心是G，直线MN经过G点与AB、AC分别交于M、N点，已知∠MGA=α（

π

3

≤α≤

2π

3

）．
（1）设S₁、S₂分别是△AGM、△AGN的面积，试用α表示S₁、S₂；
（2）当线段MN绕G点旋转时，求y=

1

S12

+

1

S22

的最大值和最小值．

Answer 1

考点：不等式的实际应用

专题：综合题,解三角形

分析：（1）根据G是边长为1的正三角形ABC的中心，可求得AG，进而利用正弦定理求得GM，然后利用三角形面积公式求得S₁，同理可求得S₂
（2）把（1）中求得S₁与S₂代入求得函数的解析式，进而根据α的范围和余切函数的单调性求得函数的最大和最小值．

解答：解：（1）因为G是边长为a的正三角形ABC的中心，
所以AG=

3

3

a，∠MAG=

π

6

，
由正弦定理得GM=

3 a

6sin(α+ π 6 )

则S₁=

1

2

GM•GA•sinα=

asinα

12sin(α+ π 6 )

同理可求得S₂=

asinα

12sin(α- π 6 )

（2）y=

1

S12

+

1

S22

=

144

a2sin2α

[sin2(α+

π

6

)+sin2(α-

π

6

)]
=

72

a2

（3+cot²α）
因为

π

3

≤α≤

2π

3

，
所以当a=

π

3

或a=

2π

3

时，y取得最大值y_max=

240

a2

当a=

π

2

时，y取得最小值y_min=

216

a2

．

点评：本题主要考查了解三角形问题．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．