Question

19．设{a_n}是无穷数列，令a′k=$\frac{{a}_{k}+{a}_{k+1}}{2}$，（k=1，2，…），则称{a′_k}是{a_k}的均值数列．仿此可定义，{a″_k}是{a′_k}的均值数列，且{a″_k}是{a′_k}的第二级均值数列．若{a_k}的各级均值数列都是整数列，则称{a_k}是“好”数列，求证：若{a_k}是“好”数列，则{a_k²}也是“好”数列．

Answer 1

分析 由新定义可得，{a_k}的各级均值数列都是整数列，即有{a_k}均为奇数构成的数列或均为偶数构成的数列，根据奇数的平方必为奇数，偶数的平方必为偶数，即可得证．

解答 证明：若{a_k}是“好”数列，
由新定义可得，{a_k}的各级均值数列都是整数列，
即有{a_k}均为奇数构成的数列或均为偶数构成的数列，
根据奇数的平方必为奇数，偶数的平方必为偶数，
可得{a_k²}的各级均值数列都是整数列，
由新定义可得{a_k²}也是“好”数列．

点评 本题考查新定义的理解和运用，注意运用奇数和偶数的性质是解题的关键，属于基础题．