Question

10．设$\overrightarrow{a}$=（x，3），$\overrightarrow{b}$=（2，-1），根据下列条件求x的取值范围．
（1）$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为锐角；
（2）$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为直角；
（3）$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为钝角．

Answer 1

分析 （1）由题意可得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=2x-3＞0，且x×1-2×1≠0，解不等式求得 x 的取值范围；
（2）$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为直角，得数量积为0，求出x；
（3）由于$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夹角为钝角，则$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=2x-3＜0，-x-6≠0，解出即可；

解答 解：（1）由题意可得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=2x-3＞0，且-x+3×2≠0，∴x＞$\frac{3}{2}$，且 x≠6，
故实数x的取值范围为 （$\frac{3}{2}$，+6）∪（6，+∞），
（2）$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$夹角为直角，所以$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=2x-3=0，所以x=$\frac{3}{2}$；
（3）$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为钝角，
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=2x-3＜0，且-x+6≠0，
解得x＜$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查两个向量的数量积的定义，两个向量的数量积公式的应用，属于基础题．