Question

7．如图，在△ABC中，点M是BC中点，点N在AC上，且AN=2NC，AM交BN于点P，则AP：PM的值为（　　）

• A． $\frac{3}{2}$
• B． 2
• C． 4
• D． $\frac{5}{4}$

Answer 1

分析 M为BC中点，从而有$\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$，这便可得到$\overrightarrow{AP}=\frac{λ}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{λ}{2}\overrightarrow{AC}$，而B，P，N三点共线，并且AN=2NC，从而有$\overrightarrow{AP}=k\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}（1-k）\overrightarrow{AC}$，从而可得到$\left\{\begin{array}{l}{\frac{λ}{2}=k}\\{\frac{λ}{2}=\frac{2}{3}（1-k）}\end{array}\right.$，解出λ即可求出AP：PM的值．

解答 解：∵$\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$，$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{AM}$；
∴$\overrightarrow{AP}=\frac{λ}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{λ}{2}\overrightarrow{AC}$；
∵B，P，N三点共线；
∴$\overrightarrow{AP}=k\overrightarrow{AB}+（1-k）\overrightarrow{AN}$=$k\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}（1-k）\overrightarrow{AC}$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{λ}{2}=k}\\{\frac{λ}{2}=\frac{2}{3}（1-k）}\end{array}\right.$；
解得$λ=\frac{4}{5}$；
∴AP：PM=4：1；
即AP：PM的值为4．
故选：C．

点评 考查向量加法的平行四边形法则，共线向量基本定理，以及平面向量基本定理，向量数乘的几何意义．