Question

12．如图三角形数阵满足：
（1）第n行首尾两数均为n；
（2）图中的递推关系类似于杨辉三角．
则第n（n≥2）行第2个数是$\frac{{n}^{2}-n+2}{2}$，第n行的和是2ⁿ+2^n-1-2．

Answer 1

分析 计算前5行的第二个数字与前5行的数字和，发现其中的规律，得出结论．

解答 解：设第n行的第2个数为a_n，由图可知，a₂=2=1+1，a₃=4=1+2+1，a₄=7=1+2+3+1，a₅=11=1+2+3+4+1…
归纳可得a_n=1+2+3+4+…+（n-1）+1=$\frac{n（n-1）}{2}+1$=$\frac{{n}^{2}-n+2}{2}$．
设第n行的和为S_n，则S₂=4=2²，S₃=10=2S₂+2=2³+2，S₄=22=2S₃+2=2⁴+2²+2．S₅=46=2S₄+2=2⁵+2³+2²+2…
归纳可得S_n=2ⁿ+2^n-2+2^n-3+…+2³+2²+2=2ⁿ+$\frac{2（1-{2}^{n-2}）}{1-2}$=2ⁿ+2^n-1-2．
故答案为$\frac{{n}^{2}-n+2}{2}$，2ⁿ+2^n-1-2．

点评 本题考查了归纳推理，等差数列，等比数列求和，属于基础题．