Question

3．如图所示，AD是⊙O的直径，AB是⊙O的切线，直线BMN交AD的延长线于点C，BM=MN=NC，AB=2，求CD的长和⊙O的半径．

Answer 1

分析 由切线长定理知AB²=BM•BM=2BM²，从而得到BC，AC，由切割线定理，知：CD•CA=CN•CM，从而得到CD，由此能求出⊙O的半径．

解答 解：∵AD是⊙O的直径，AB是⊙O切线，A为切点，
⊙O上有两点M、N，直线BMN交AD的延长线于点C，BM=MN=NC，AB=2，
∴AB²=BM•BM=2BM²，
即4=2BM²，解得BM=MN=CN=$\sqrt{2}$，∴BC=3$\sqrt{2}$
∴AC=$\sqrt{18-4}$=$\sqrt{14}$，
由切割线定理，知：CD•CA=CN•CM，
即CD$\sqrt{14}$=$\sqrt{2}•2\sqrt{2}$，解得CD=$\frac{4\sqrt{14}}{14}$，
∴⊙O的半径r=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{14}$-$\frac{4\sqrt{14}}{14}$）=$\frac{5\sqrt{14}}{14}$．

点评 本题考查圆的半径的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意切线长定理和切割线定理的合理运用．