Question

13．设△ABC的内角为A，B，C，满足B-A=$\frac{π}{2}$且B为钝角，则sinA+sinC的取值范围．

Answer 1

分析 B-A=$\frac{π}{2}$且B为钝角，可得A=B-$\frac{π}{2}$，C=π-A-B=$\frac{3π}{2}$-2B，B∈$（\frac{π}{2}，π）$．可得cosB∈（-1，0）．sinA+sinC=-2$（cosB-\frac{1}{4}）^{2}$+$\frac{9}{8}$=f（B），再利用二次函数的单调性即可得出．

解答 解：∵B-A=$\frac{π}{2}$且B为钝角，
∴A=B-$\frac{π}{2}$，C=π-A-B=$π-（B-\frac{π}{2}）$-B=$\frac{3π}{2}$-2B，B∈$（\frac{π}{2}，π）$．
∴cosB∈（-1，0）．
sinA+sinC=$sin（B-\frac{π}{2}）$+sin$（\frac{3π}{2}-2B）$=-cosB-cos2B=-2cos²B-cosB+1
=-2$（cosB-\frac{1}{4}）^{2}$+$\frac{9}{8}$=f（B），
∴f（B）∈（0，1）．
∴sinA+sinC的取值范围是（0，1）．

点评 本题考查了诱导公式、三角函数的单调性、二次函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．