Question

18．已知向量$\overrightarrow{{e}_{1}}$、$\overrightarrow{{e}_{2}}$是分别与x轴、y轴同方向的单位向量，向量$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{OB}$=5$\overrightarrow{{e}_{1}}$+3$\overrightarrow{{e}_{2}}$，将有向线段$\overrightarrow{AB}$绕点A旋转到$\overrightarrow{AC}$位置，使得$\overrightarrow{AB}$⊥$\overrightarrow{AC}$，则$\overrightarrow{OB}$•$\overrightarrow{OC}$的值是6或10．

Answer 1

分析 求出A，B的坐标，根据ABC为等腰直角三角形列出方程求出C点坐标，利用坐标计算数量积．

解答 解：∵$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{OB}$=5$\overrightarrow{{e}_{1}}$+3$\overrightarrow{{e}_{2}}$，∴A（1，1），B（5，3）．∴k_AB=$\frac{3-1}{5-1}$=$\frac{1}{2}$．|AB|=$\sqrt{（5-1）^{2}+（3-1）^{2}}$=2$\sqrt{5}$．
设C（x，y），则k_AC=$\frac{y-1}{x-1}$，|AC|=$\sqrt{（x-1）^{2}+（y-1）^{2}}$．
∵$\overrightarrow{AB}$⊥$\overrightarrow{AC}$，|AB|=|AC|，∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{y-1}{x-1}=-2}\\{\sqrt{（x-1）^{2}+（y-1）^{2}}=2\sqrt{5}}\end{array}\right.$．解得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=-3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=5}\end{array}\right.$．
∴$\overrightarrow{OB}$$•\overrightarrow{OC}$=5x+3y=6或10．
故答案为：6或10．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，根据旋转求出C点坐标是解题关键．