Question

6．若$\frac{5π}{2}$＜α＜3π，则$\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}cosα}}$等于（　　）

• A． cos$\frac{α}{4}$
• B． -cos$\frac{α}{4}$
• C． sin$\frac{α}{4}$
• D． -sin$\frac{α}{4}$

Answer 1

分析 利用已知角的范围可得$\frac{5π}{4}$＜$\frac{α}{2}$＜$\frac{3π}{2}$，$\frac{5π}{8}$＜$\frac{α}{4}$＜$\frac{3π}{4}$，可得cos$\frac{α}{2}$＜0，sin$\frac{α}{4}$＞0，利用二倍角的正弦函数，余弦函数公式化简即可得解．

解答 解：∵$\frac{5π}{2}$＜α＜3π，
∴$\frac{5π}{4}$＜$\frac{α}{2}$＜$\frac{3π}{2}$，$\frac{5π}{8}$＜$\frac{α}{4}$＜$\frac{3π}{4}$，
∴cos$\frac{α}{2}$＜0，sin$\frac{α}{4}$＞0，
∴$\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}cosα}}$=$\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{co{s}^{2}\frac{α}{2}}}$=$\sqrt{\frac{1}{2}-\frac{1}{2}cos\frac{α}{2}}$=$\sqrt{si{n}^{2}\frac{α}{4}}$=sin$\frac{α}{4}$．
故选：C．

点评 本题主要考查了二倍角的正弦函数、余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，根据角的范围确定三角函数值的符号是解题的关键，属于中档题．