Question

14．已知a∈（$\frac{2}{3}$，1），函数f（x）=x³-$\frac{3}{2}$ax²+b，x∈[-1，1]，f（x）${\;}_{{\;}_{min}}$=1，f（x）_max=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，求a，b的值．

Answer 1

分析 求出导数，求得极值点，求出极值和端点的函数值，比较可得f（0）最大，f（-1）最小，解方程可得a，b的值．

解答 解：函数f（x）=x³-$\frac{3}{2}$ax²+b的导数为f′（x）=3x²-3ax=3x（x-a），
由f′（x）=0，可得x=0或a，
由f（0）=b，f（a）=b-$\frac{1}{2}$a³，f（-1）=-1-$\frac{3}{2}$a+b，f（1）=1-$\frac{3}{2}$a+b，
由a∈（$\frac{2}{3}$，1），可得f（0）＞f（1），f（-1）＜f（1），f（0）＞f（a），
则f（0）为最大值，且为b=$\frac{\sqrt{6}}{2}$；
由$\frac{2}{3}$＜a＜1，可得f（-1）-f（a）=$\frac{1}{2}$a³-1-$\frac{3}{2}$a＜0，
则f（-1）＜f（a），即有f（-1）为最小值，即为-1-$\frac{3}{2}$a+$\frac{\sqrt{6}}{2}$=-1，
解得a=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
综上可得，a=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，b=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

点评 本题考查函数的最值的求法，注意运用导数，求出极值和端点的函数值，考查运算能力，属于中档题．