Question

17．比较${∫}_{0}^{3}$$\sqrt{5-\frac{5}{9}{x}^{2}}$dx与${∫}_{0}^{3}$$\sqrt{3-\frac{1}{3}{x}^{2}}$dx的大小．

Answer 1

分析 由定积分的几何意义和椭圆的知识可得．

解答 解：由y=$\sqrt{5-\frac{5}{9}{x}^{2}}$平方整理可得$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1，
∴${∫}_{0}^{3}$$\sqrt{5-\frac{5}{9}{x}^{2}}$dx表示椭圆$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1的四分之一个椭圆的面积，
同理可得${∫}_{0}^{3}$$\sqrt{3-\frac{1}{3}{x}^{2}}$dx表示椭圆$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的四分之一个椭圆的面积，
故${∫}_{0}^{3}$$\sqrt{5-\frac{5}{9}{x}^{2}}$dx＞${∫}_{0}^{3}$$\sqrt{3-\frac{1}{3}{x}^{2}}$dx

点评 本题考查定积分的几何意义，涉及椭圆的知识，属基础题．