Question

7．如图，在四边形ABCD中，AB=4，BC=$\frac{3}{2}$，CD=$\frac{5}{2}$，∠A=$\frac{π}{3}$，cos∠ADB=$\frac{1}{7}$．
（1）求BD得长；
（2）求∠ABC+∠ADC的值．

Answer 1

分析 （1）根据正弦定理和余弦定理进行求解即可．
（2）根据余弦定理先求出∠C的大小即可得到结论．

解答 解：（1）在△ABD中，因为cos∠ADB=$\frac{1}{7}$．∠ADB∈（0，π），
所以sin∠ADB=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$，
根据正弦定理，有$\frac{BD}{sinA}=\frac{AB}{sin∠ADB}$，
代入AB=4，∠A=$\frac{π}{3}$，解得BD=$\frac{7}{2}$； …（6分）
（2）在△BCD中，根据余弦定理cos∠C=$\frac{B{C}^{2}+C{D}^{2}-B{D}^{2}}{2BC•CD}$，代入BC=$\frac{3}{2}$，CD=$\frac{5}{2}$，
得cos∠C=$-\frac{1}{2}$，
因为∠C∈（0，π），
所以∠C=$\frac{2π}{3}$，所以∠A+∠C=π，而在四边形ABCD中∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=2π，
所以∠ABC+∠ADC=π …（12分）

点评 本题主要考查解三角形的应用，利用正弦定理和余弦定理是解决本题的关键．考查学生的运算和推理能力．