Question

19．如图，AB=AD，∠BAD=90°，M，N，G分别是BD，BC，AB的中点，将等边△BCD沿BD折叠到△BC′D的位置，使得AD⊥C′B．
（Ⅰ）求证：平面GNM∥平面ADC′；
（Ⅱ）求证：C′A⊥平面ABD．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用线面平行的判定定理，证明MN∥平面ADC′，NG∥平面ADC，再利用面面平行的判定定理证明平面GNM∥平面ADC′；
（Ⅱ）利用AD⊥平面C′AB，证明AD⊥C′A，利用勾股定理的逆定理，证明AB⊥C′A，再利用线面垂直的判定定理证明C′A⊥平面ABD．

解答 （本题满分为10分）
解：（Ⅰ）因为M，N分别是BD，BC′的中点，
所以MN∥DC′．
因为MN?平面ADC′，
DC′?平面ADC′，所以MN∥平面ADC′．
同理NG∥平面ADC′．
又因为MN∩NG=N，
所以平面GNM∥平面ADC′…（5分）
（Ⅱ）因为∠BAD=90°，所以AD⊥AB．
又因为AD⊥C′B，且AB∩C′B=B，所以AD⊥平面C′AB．
因为C′A?平面C′AB，所以AD⊥C′A．
因为△BCD是等边三角形，AB=AD，
不妨设AB=1，则BC=CD=BD=$\sqrt{2}$，可得C′A=1．
由勾股定理的逆定理，可得AB⊥C′A．
因为AB∩AD=A，
所以C′A⊥平面ABD…（10分）

点评 本题主要考查了面面平行，线面垂直的判定，考查了学生分析解决问题的能力、空间想象能力和推理论证能力，正确运用面面平行、线面垂直的判定定理是解题的关键，属于中档题．