Question

9．已知|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{c}$|=1，且$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，则（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{c}$）•$\overrightarrow{c}$的最大值是$\sqrt{2}$-1．

Answer 1

分析 |$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{c}$|=1，且$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，不妨设$\overrightarrow{a}$=（1，0），$\overrightarrow{b}$=（0，1），$\overrightarrow{c}$=（cosθ，sinθ）（θ∈[0，2π）），代入化简利用三角函数的单调性最值即可得出．

解答 解：∵|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{c}$|=1，且$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，
不妨设$\overrightarrow{a}$=（1，0），$\overrightarrow{b}$=（0，1），$\overrightarrow{c}$=（cosθ，sinθ）（θ∈[0，2π））
则（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{c}$）•$\overrightarrow{c}$=（1-cosθ）•cosθ+（1-sinθ）•sinθ=sinθ+cosθ-1=$\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）$-1$≤\sqrt{2}$-1，
∴（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{c}$）•$\overrightarrow{c}$的最大值是$\sqrt{2}$-1．
故答案为：$\sqrt{2}$-1．

点评 本题考查了三角函数的单调性最值、向量的坐标运算数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．