Question

4．极坐标系的极点为直角坐标系xOy的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中长度单位相同，已知曲线C的极坐标方程为ρ=2（cosθ+sinθ），斜率为$\sqrt{3}$的直线l交y轴于点E（0，1）．
（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程，直线l的参数方程；
（Ⅱ）直线l与曲线C交于A，B两点，求|EA|•|EB|的值．

Answer 1

分析 （I）将ρ=2（cosθ+sinθ）两边同时乘以ρ，根据极坐标与直角坐标的对应关系得出直角坐标方程；直线l的倾斜角为60°，设直线l上任意一点到E的距离为t，则x=tcos60°，y=tsin60°+1．得出参数方程．
（2）将参数方程代入曲线方程求出A，B两点对应的参数，即可得出答案．

解答 解：（I）由ρ=2（cosθ+sinθ），得ρ²=2ρcosθ+2ρsinθ，
∴曲线C的直角坐标方程为x²+y²=2x+2y，即（x-1）²+（y-1）²=2．
直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t+1}\end{array}\right.$（t为参数，t∈R）．
（II）将$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t+1}\end{array}\right.$代入曲线C方程得（$\frac{1}{2}t-1$）²+（$\frac{\sqrt{3}}{2}t$）²=2，
即t²-t-1=0，设A，B两点对应的参数分别为t₁，t₂，则t₁t₂=-1．
|EA|=|t₁|，|EB|=|t₂|，
∴|EA|•|EB|=|t₁t₂|=1．

点评 本题考查了极坐标方程，参数方程与直角坐标方程的互化，属于基础题．