Question

13．不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x+2y-2≥0}\\{x-y+1≥0}\\{2x+3y-4≤0}\end{array}\right.$，表示的平面区域绕着原点旋转一周所得到的平面图形的面积为（　　）

• A． $\frac{12π}{25}$
• B． $\frac{17π}{25}$
• C． 3π
• D． $\frac{16π}{5}$

Answer 1

分析 作出可行域，旋转所得图形为圆环，求面积可得．

解答 解：作出不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x+2y-2≥0}\\{x-y+1≥0}\\{2x+3y-4≤0}\end{array}\right.$表示的平面区域（如图△ABC），
区域内的点B（2，0）到原点的距离最大为2，区域内的点D到原点的距离最小，
由点到直线的距离公式可得最小值为$\frac{2}{\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
△ABC绕着原点旋转一周所得到的平面图形为圆环，且内外圆半径分别为$\frac{4\sqrt{5}}{5}$和2，
故所求面积S=π×2²-π×（$\frac{4\sqrt{5}}{5}$）²=$\frac{16}{5}$π，
故选：D．

点评 本题考查简单线性规划，得出旋转所得图象是解决问题的关键，属中档题．