Question

14．已知函数f（x）=$\frac{{e}^{x}}{m}$+$\frac{m}{{e}^{x}}$（其中m＞0，e为自然对数的底数）是定义在R上的偶函数．
（1）求m的值；
（2）判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，并用单调性定义证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）根据f（x）为R上的偶函数，从而有f（-1）=f（1），这样即可得出$m-\frac{1}{m}=0$，由m＞0从而得出m=1；
（2）写出$f（x）={e}^{x}+\frac{1}{{e}^{x}}$，根据单调性的定义，设任意的x₁＞x₂＞0，然后作差，通分，提取公因式，从而得到$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=（{e}^{{x}_{1}}-{e}^{{x}_{2}}）（1-\frac{1}{{e}^{{x}_{1}+{x}_{2}}}）$，根据x₁＞x₂＞0及指数函数的单调性便可判断f（x₁），f（x₂）的关系，从而得出f（x）在（0，+∞）上的单调性．

解答 解：（1）f（x）为R上的偶函数；
∴f（-1）=f（1）；
即$\frac{1}{me}+me=\frac{e}{m}+\frac{m}{e}$；
∴$（m-\frac{1}{m}）（e-\frac{1}{e}）=0$；
∴$m-\frac{1}{m}=0$；
∵m＞0，∴解得m=1；
（2）$f（x）={e}^{x}+\frac{1}{{e}^{x}}$，设x₁＞x₂＞0，则：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）={e}^{{x}_{1}}+\frac{1}{{e}^{{x}_{1}}}-{e}^{{x}_{2}}-\frac{1}{{e}^{{x}_{2}}}$=$（{e}^{{x}_{1}}-{e}^{{x}_{2}}）（1-\frac{1}{{e}^{{x}_{1}+{x}_{2}}}）$；
∵x₁＞x₂＞0；
∴${e}^{{x}_{1}}＞{e}^{{x}_{2}}$，x₁+x₂＞0，${e}^{{x}_{1}+{x}_{2}}＞1$；
∴${e}^{{x}_{1}}-{e}^{{x}_{2}}＞0，1-\frac{1}{{e}^{{x}_{1}+{x}_{2}}}＞0$；
∴f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数．

点评 考查偶函数的定义，函数单调性的定义，根据单调性定义判断一个函数单调性的方法和过程，作差的方法比较f（x₁），f（x₂），作差后是分式的一般要通分，一般要提取公因式，以及指数函数的单调性．