Question

6．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosφ}\\{y=-2+2sinφ}\end{array}\right.$（φ为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
（I）求圆C的极坐标方程；
（Ⅱ）若直线l的极坐标方程是ρcos（θ+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$，求直线l被圆C截得的弦长．

Answer 1

分析 （I）圆C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosφ}\\{y=-2+2sinφ}\end{array}\right.$（φ为参数），利用cos²φ+sin²φ=1，即可化为普通方程，利用$\left\{\begin{array}{l}{{ρ}^{2}={x}^{2}+{y}^{2}}\\{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$即可得出极坐标方程．
（II）（II）直线l的极坐标方程是ρcos（θ+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$，展开为：$\frac{\sqrt{2}}{2}（ρcosθ-ρsinθ）$=$\sqrt{2}$，化为直角坐标方程．由于圆心C（0，-2）满足直线l的方程，直线l被圆C截得的弦长是圆的直径．

解答 解：（I）圆C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosφ}\\{y=-2+2sinφ}\end{array}\right.$（φ为参数），化为x²+（y+2）²=4，展开为：x²+y²+4y=0，
化为极坐标方程：ρ²+4ρsinθ=0，即ρ+4sinθ=0．
（II）直线l的极坐标方程是ρcos（θ+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$，展开为：$\frac{\sqrt{2}}{2}（ρcosθ-ρsinθ）$=$\sqrt{2}$，化为直角坐标方程：x-y-2=0．
圆心C（0，-2）满足直线l的方程0-（-2）-2=0，
∴直线l被圆C截得的弦长是圆的直径：2×2=4．

点评 本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、直线与圆相交弦长问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．