Question

16．已知x₀是函数f（x）=2^x-log_0.5x的零点．则（　　）

• A． 2^x₀＜1＜x₀
• B． x₀＜2^x₀＜1
• C． 1＜x₀＜2^x₀
• D． x₀＜1＜2^x₀

Answer 1

分析 先判断函数ff（x）=2^x-log_0.5x的零点所在区间，我们可以利用零点存在定理，即函数f（x）在区间（a，b）上若f（a）•（b）＜0，则函数f（x）在区间（a，b）上有零点，再根据指数函数的性质即可判断．

解答 解：∵f（x）=2^x-log_0.5x在其定义域为单调增函数，
f（$\frac{1}{2}$）=$，\sqrt{2}$-1＞0，f（$\frac{1}{4}$）=${2}^{\frac{1}{4}}$-log_0.5$\frac{1}{4}$=${2}^{\frac{1}{4}}$-2＜0，
∴f（$\frac{1}{4}$）f（$\frac{1}{2}$）＜0，
∴函数f（x）零点在（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$）上，
即x₀∈（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$），
∴2^x₀＞1，
∴x₀＜1＜2^x₀
故选：D．

点评 本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，牢固掌握零点存在定理，即函数f（x）在区间（a，b）上若f（a）•（b）＜0，则函数f（x）在区间（a，b）上有零点，是解答本题的关键．